Algèbre Linéaire 2 by Bernard Le Stum

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Pour tout i = 1, . . , n, il existe ui ∈ E tel que f (ui ) = vi et il suit que (u1 , . . , un ) est nécessairement libre. On voit alors que dim E ≥ n. Ceci étant vrai pour tout n, on a bien dim im f = dim E − t. 2 i) Le rang d’une partie S d’un espace vectoriel E est la dimension de l’espace engendré par ce système. On la note rg(S). ii) Le rang d’une application linéaire f est la dimension de Imf . On le note rg(f ). iii) Si A est la matrice d’une application linéaire f : K m → K n (dans la base canonique), le rang de A est le rang de f .

On peut montrer que deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang (dans un sens c’est clair, non). Par contre le fait d’être semblable est une propriété très forte. Regardons par exemple l’application linéaire R2 (x, y)  f / / R2 (x + 2y, 2x + y) B04 – Version du December 2, 2008 61 Sa matrice dans la base canonique est 1 2 2 1 A := . Il suit que sa matrice dans la base B := {(1, 1), (1, −1)} est A = P −1 AP = 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 − 12 1 1 1 −1 3 0 0 −1 = . C’est pratique pour calculer les puissances de A : 1 1 1 −1 An = P A P −1 = n = 1 2 1 2 3n 0 0 (−1)n 3n −(−1)n 2 3n +(−1)n 2 3n +(−1)n 2 3n −(−1)n 2 1 2 − 12 .

Alors, la matrice d’une application linéaire f : E → F est [f ]CB := [[f (u1 )]C · · · [f (um )]C ]. Lorsque E = F et B = C, on écrit tout simplement [f ]B . Par exemple, dans la base canonique, la matrice de l’application linéaire R[X]≤2  P est  / R[X]≤2 /P  0 1 0   A :=  0 0 2  . 0 0 0 Le lemme suivant permet de ramener toutes les questions sur les matrices d’applications linéaires à des espaces de la forme K n . 4 Soit f : E → F une application linéaire, Φ : K m → E la paramétrisation associée à une base B de E et Ψ : K n → F la paramétrisation associée à une base C de F .

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