Grundbegriffe der Mathematik, algebraische Strukturen 1, by Dietlinde Lau

By Dietlinde Lau

Algebra und Diskrete Mathematik gehören zu den wichtigsten mathematischen Grundlagen der Informatik. Dieses zweibändige Lehrbuch liegt jetzt in korrigierter zweiter Auflage vor und fährt umfassend und lebendig in den Themenkomplex ein. Dabei ermöglichen ein klares Herausarbeiten von Lösungsalgorithmen, viele Beispiele, ausführliche Beweise und eine deutliche optische Unterscheidung des Kernstoffs von weiterführenden Informationen einen raschen Zugang zum Stoff. Die umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben erleichtert nicht nur eine aktive Erarbeitung des Inhalts, sondern zeigt auch die unterschiedlichsten Anwendungsmöglichkeiten auf.

Zum Inhalt: Einführung in die Grundbegriffe der Mathematik und Vorstellung der wichtigsten Beweismethoden; Lineare Algebra und analytische Geometrie; Einführung in die Numerische Algebra.

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Example text

A sei die Menge aller Punkte auf einer Kugel ohne N ( Nordpol“), ” B sei die Menge aller Punkte einer Ebene. 1 Sei M irgendeine Menge von Mengen. Dann ist die Relation achtig zu B} R := {(A, B) ∈ M 2 | A ist gleichm¨ ¨ eine Aquivalenzrelation auf M . Beweis. Seien A, B, C beliebige Elemente aus M . Offenbar gilt A ∼ A, da die identische Abbildung idA eine bijektive Abbildung von A auf A ist. 3 eine Bijektion von B auf A. Gilt A ∼ B und B ∼ C, so existieren Bijektionen f und g mit f : A −→ B, 30 1 Mathematische Grundbegriffe g : B −→ C.

44 1 Mathematische Grundbegriffe Beispiel Die durch die Tabelle x 0 0 1 1 y f (x, y) 0 1 1 0 0 0 1 1 definierte Funktion f bewahrt die (einstellige) Relation {1}, jedoch nicht die (zweistellige) Relation {(0, 1), (1, 0)}, da (f (0, 0), f (1, 1)) = (1, 1) ∈ / {(0, 1), (1, 0)}. Es gilt dann: Eine beliebige Boolesche Funktion ist genau dann mittels Superposition (Ineinandereinsetzen von Funktionen in Funktionen, Umordnen der Variablen, Identifizieren von Variablen) aus Elementen einer Menge A von Booleschen Funktionen erzeugbar, wenn zu jeder der 5 Relationen R0 R1 R2 R3 R4 := {0}, := {1}, := {(0, 1), (1, 0)}, := {(0, 0), (0, 1), (1, 1)}, := {(a, b, c, d) ∈ {0, 1}4 | a + b = c + d (mod 2)} = {(0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1)} 10 in A eine Funktion existiert, die diese Relation nicht bewahrt.

A. durch Bindew¨orter wie und“, oder“, wenn–dann“,. . ) auf vielfache Weise verkn¨ upft. Das Ergeb” ” ” nis dieser Verkn¨ upfung liefert in der Regel wieder eine Aussage, deren Wert (0 oder 1) abh¨ angig ist von den der verkn¨ upften Einzelaussagen. Im Rahmen der Aussagenlogik werden ein Teil der umgangssprachlichen Verkn¨ upfungen modelliert, in Teilen sogar erst pr¨ azise formuliert. Da wir bei Aussagen von ihrem Inhalt abstrahieren, uns also nur ihr sogenannter Wahrheitswert 0 oder 1 interessiert, sind Aussagenverbindungen mehrstellige Funktionen u ¨ber {0, 1}, also unsere oben definierten Booleschen Funktionen (auch Wahrheitswertfunktionen oder Funktionen der zweiwertigen Logik genannt).

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